32 Модели систем массового обслуживания. Модель одноканальной СМО с неограниченной очередью. Формула Полачека-Хинчина. Анализ формулы

При случайном характере поступления сообщений в СМО, ее канал или обсл.прибор (ОП) затрачивает часть времени на обработку-обслуживание, в результате чего образуются очереди. СМО обладает некоторой пропускной способностью, позволяющей производить обработку потока заявок.

Для задания и описания эффективности СМО используются понятия:
- среднее число заявок находящихся в СМО
- среднее число заявок, находящихся на обслуживании
- среднее число заявок находящихся в очереди
- среднее время ожидания в очереди
- среднее время нахождения в СМО

Под интенсивностью потока заявок (входящего потока) [Обозначается как: Лямбда] понимается среднее число заявок потока в ед.времени. 
Под интенсивностью потока обслуживания (выходящего потока) [Обозначается как: Мю] понимается среднее число заявок которые может обслужить ОП в единицу времени. Чел/мин ; Руб/день ; кг/ч ; запросов/c.
Коэффициент использования оборудования (коэффициент загрузки) [Обозначается как: Ро] отношение времени занятости оборудования обслуживанием заявок к общему времени его функционирования. Ро = T обс / Т общ (1) =эквивалентно=> Ро = t обс / t пр (2) ---> где: t пр и t обс есть средний временной интервал между приходами требований входящего потока и среднее время их обслуживания в канале соответственно.
Поскольку:
Лямбда = 1 / t пр (3)
и
Мю = 1 / t обс (4)
то подставив эти выражения в (2) для Ро получаем
Ро = Лямбда / Мю (5)

Пример: Поток запросов к информ.системе в период наибольшей нагрузки составляет 9000 обращений в час, а среднее время обработки одого обращения = 300мс, то коэффициент использования оборудования составляет:
Ро = 9000 * 300 / 3600 * 1000 = 0,75

Чем ближе коэффициент использования оборудования к 100%, тем больше задержки и длиннее очереди.
Коэффициент простоя канала (k простоя) - отношение времени простоя канала к общему времени его работы. Коэффициент загрузки связан с коэффициентом простоя соотношением:
Ро = 1 - k простоя

Для СМО с неограниченным ожиданием важнейшими характеристиками являются:
- среднее время ожидания заявки в очереди
- среднее число заявок в очереди
- среднее число заявок в системе
- среднее время пребывания заявки в системе
- коэффициент простоя ОП
- коэффициент загрузки обслуживающей системы

Пуассоновский поток

Поток событий обладающий свойствами стационарности, отсутствием последствий, ординарности называется простейшим, или стационарным пуассоновским потоком.

Поток называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на элементарный участок времени длиной (Тетта) зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси t расположен этот участок.

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Пуассоновский поток событий тесно связан с понятием теории вероятности распределением пуассона: - Число событий потока, попадающих на временной интервал некоторой величины, распределено по закону Пуассона. Формула позволяющая вычислить вероятность попадания m требочаний на временной интервал t имеет вид:
P(m) = (Лямбда t){в степ. m} e {в степ. -Лямбда t} / m! (7)
Где: Лямбда - интенсивность потока ; e - основание натуральных логарифмов (2,7118...)
m! = система: 1*2*3*...*(m-1)*m, если m >= 1 ; 1, если m=0

Функция распределения
F{мал. T}(t) = P(T <= t) представляющая собой вероятность того, что случайная величина Т (интервал времени между событиями) не превысит значения t, для пуассон: имеет след вид
F{мал. T}(t) = 1 - e {в степ. -Лямбда t} (8)

Такой закон распределения называется экспоненциальным с плотностью Лямбда. Величина Лямбда называется также параметром показательного закона.

Математическое ожидание случайной величины Т равно: t = 1 / Лямбда (9)

Дисперсия составляет: D[T] = 1 / Лямбда {в степ. 2} (10)

Среднеквадратическое отклонение случайной величины Т находится как квадратный корень из дисперсии: Сигма{мал. T} = Корень из D[T] = 1 / Лямбда (11)

Мат.ожидание величины Т равно ее среднеквадратич.отклоненению, что является характерной особенностью экспоненциального распределения.

Вероятность появления m событий в заданном промежутке времени описывается пуассоновским распределением, а вероятность того, что временные интервалы между событиями потока не превзойдут некоторого значения, описывается экспоненц.распределением. Это различные описание одного и того-же стохастического процесса.


Формула расчета характеристик одноканальной СМО

--->
---> ||| очередь ||| ---> Обслуживающий прибор --->
--->

Целью мат.аппарата является приближенное оценивание среднего размера очереди, а также среднего времени, затрачиваемого заявками на ожидание в очередях. Желательно также оценить насколько часто очередь превышает определенную длину.

Формула Хинчина - Полачека: t ож = t обс Ро(1+с{в степ. 2}обс) / 2 (1-Ро)  (12)

Число заявок ожидающих обслуживания (сред.длина очереди) можно найти так: n ож = Лямбда * t ож  (13) - формула Литтла для открытых СМО

Формула Хинчина - Полачека используется для вычисления длин очередей при проектировании информ.систем. Она применяется в случае экспоненциального распредлеения времени поступления и при любом распределении времени обслуживания.

Анализ формулы Хинчина-Полачека

1 Время обслуживания постоянно
При регулярном характере потока рассеяние отсутствует, по этому сред.квад.отклонение Сигма обс = 0:

n ож = Ро{в степ. 2} (1+с{в степ. 2}обс) / 2(1-Ро) = Ро{в степ. 2} / 2 (1-Ро)  (15)
t ож = tобс * Ро / 2(1-Ро)

2 Время обслуживания имеет экспоненц.распеделения. в нём сред.квад.откл Сигма обс = 1:
n ож = Ро{в степ. 2} (1+с{в степ. 2}обс) / 2(1-Ро) = Ро{в степ. 2} / 1-Ро  (15)
t ож = tобс * Ро / 1-Ро

Сигма обс редко достигает значений равных 1


Пример: коэфф.загрузки оператора

Ро = Лямбда * t обс
Предположим, что в часы пик приходит 30 клиентво в час. В среднем кассир тратит 1,5 мин на клиента. Тогда:
Ро = 1,5 * 30 / 60 = 0.75 - т.е. загрузка кассира 75%